Cho phương trình x^2 - 2 ( m +1) x - 9 =0 với m =1

a) Khi \(m = 3\) phương trình trở thành: \({x^2} - 8x - 9 = 0\),

ta có: \({\rm{\Delta '}} = {( - 4)^2} - 1 \cdot \left( { - 9} \right) = 25 > 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{4 + \sqrt {25} }}{1} = 9;{x_2} = \frac{{4 - \sqrt {25} }}{1} =  - 1\)

Vậy với \(m = 3\) phương trình có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} = 9;{x_2} =  - 1\)

b) \(ac = 1.\left( { - 9} \right) < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có nghiệm \(x = 2\) nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}{2^2} - 2\left( {m + 1} \right)2 - 9 = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m - 4 - 9 = 0\\ \Leftrightarrow  - 4m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow m =  - \frac{9}{4}\end{array}\)

Vậy để phương trình có nghiệm \(x = 2\) thì \(m =  - \frac{9}{4}\).
c) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 9 = 0\) có \(a \cdot c =  - 9 < 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức viet ta có \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\)

Mà \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} < 0 < {x_2}\)

\(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 6\)

\( - {x_1} - {x_2} =  - 6\)

\( \Leftrightarrow \)\( - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - 6\)

\( \Leftrightarrow m + 1 = 3\)

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6\)