Cho phương trình x^2 − 13x − 1 = 0 có nghiệm x1; x2 (x1 > x2). Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức P = |x1| − 2|x2| + căn bậc hai của (19x1 + 10).

Ta có: \({x_1} > 0;{x_2} < 0;\)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Theo định lí Vi -ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 13\\{x_1}.{x_2} =  - 1\end{array} \right.\)

Nhận thấy \({x_1}.{x_2} =  - 1 < 0\) nên \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm trái dấu. Mà \[{x_1} > {x_2}\]nên \({x_1} > 0;{x_2} < 0;\)

Suy ra \(\left| {{x_1}} \right| = {x_1};\left| {{x_2}} \right| =  - {x_2}\)

Lại có \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 13x - 1 = 0\)nên \({x_1}^2 - 13{x_1} - 1 = 0\)

Suy ra \({x_1}^2 = 13{x_1} + 1\)

Suy ra \({x_1}^2 + 6{x_1} + 9 = 19{x_1} + 10\)

Khi đó : \(P = \left| {{x_1}} \right| - 2\left| {{x_2}} \right| + \sqrt {19{x_1} + 10} \)

\(P = {x_1} + 2{x_2} + \sqrt {{x_1}^2 + 6{x_1} + 9} \)

\(P = {x_1} + 2{x_2} + \sqrt {{{\left( {{x_1} + 3} \right)}^2}} \)

\(P = {x_1} + 2{x_2} + {x_1} + 3\)

\(P = 2{x_1} + 2{x_2} + 3\)

\(P = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3\)

\(P = 2.13 + 3\)

\(P = 29\)

Vậy \(P = 29\)