Cho phương trình x² − 5x + 3 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức A = căn bậc hai của (9x1 + 1) + căn bậc hai của (11x2 + 6)

Xét phương trình: \({x^2} - 5x + 3 = 0\) (*)

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.3 = 13 > 0\) nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.\,{x_2} = 3\end{array} \right.\), vì \({x_1} + {x_2} > 0;\,\,{x_1}.\,{x_2} > 0\) nên \[{x_1} > 0;\,\,{x_2} > 0\]

Vì \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*) nên \(5{x_1} = x_1^2 + 3\); \(5{x_2} = x_2^2 + 3\)

Ta có: \(A = \sqrt {5{x_1} + 4{x_1} + 1}  + \sqrt {5{x_2} + 6{x_2} + 6}  - 10\)

\(A = \sqrt {x_1^2 + 3 + 4{x_1} + 1}  + \sqrt {x_2^2 + 3 + 6{x_2} + 6}  - 10\)

\(A = \sqrt {x_1^2 + 4{x_1} + 4}  + \sqrt {x_2^2 + 6{x_2} + 9}  - 10\)

\(A = \sqrt {{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {{x_2} + 3} \right)}^2}}  - 10\)

\(A = \left| {{x_1} + 2} \right| + \left| {{x_2} + 3} \right| - 10\)

Vì \({x_1} > 0;{x_2} > 0\) nên \({x_1} + 2 > 0;{x_2} + 3 > 0\), do đó:

 \(A = A = {x_1} + 2 + {x_2} + 3 - 10\)=\[5 - 5 = 0\]