Cho phương trình x 2 + ( m + 2 ) x + m − 1 = 0 . a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn. b) Phương trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi m .

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.

Xét phương trình \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số.

⦁ Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn \(x\) có \(a = 1 \ne 0\,;\,\,b = m + 2\,;\,\,c = m - 1.\) Do đó ý a) là đúng.

⦁ Phương trình có biệt thức \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = {m^2} + 8 > 0\) nên phương trình luôn có nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\) Do đó ý b) là đúng.

⦁ Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \left( {m + 2} \right)\,;\,\,{x_1}{x_2} = m - 1.\) Do đó ý c) là sai.

⦁ Ta có \[{x^2}_1 + 2{x_1}{x_2} + {x^2}_2 - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 6\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 6\]

\[{\left( {m + 2} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right) + \left( {m + 2} \right) = 6\]

\[{m^2} + 4m + 4 - 2m + 2 + m + 2 = 6\]

\[{m^2} + 3m + 2 = 0\].

Phương trình này có tổng các hệ số \(a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0\) nên phương trình này có các nghiệm \({m_1} = - 1\,,\,\,{m_2} = - 2\).

Vậy có hai giá trị cần tìm của \(m\) là \({m_1} = - 1\,,\,\,{m_2} = - 2\). Do đó ý d) là sai.