Cho phương trình: x^ 2 − 2( m − 1 )x − m − 3 = 0 . Tìm m để biểu thức A = x 1^ 2 + x 2 ^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m - 3 = 0\) (1).

(1) có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( { - m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 + m + 3 = {m^2} - m + 4 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) với mọi \(m\)Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Với mọi \(m\) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\).

Theo hệ thức Vi-et, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} =  - m - 3\end{array} \right.\] .

\( \Rightarrow A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left[ {2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 2\left( { - m - 3} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 + 2m + 6 = 4{m^2} - 6m + 10\) \( = {\left( {2m - \frac{3}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + 10 = {\left( {2m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} \ge \frac{{31}}{4}\) với mọi \(m\).

Vậy \(\min A = \frac{{31}}{4}\) khi \(m = \frac{3}{4}\).