Cho phương trình \(\sin x\cos x + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 2\). Biết tổng các nghiệm của phương trình nằm trong khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};3\pi } \right)\) có dạng \(\frac{{a\

Đáp án: 18.

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\). Vì \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

Ta có: \({t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó, phương trình đã cho trở thành \(\frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 5\end{array} \right.\)

Với t = 1, ta được \(\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\).

Xét họ nghiệm \(x = k2\pi \)

.

Xét họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình nằm trong khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};3\pi } \right)\) là: \(2\pi + \frac{{5\pi }}{2} = \frac{{9\pi }}{2}\).

Do đó \(\frac{a}{b} = \frac{9}{2}\). Suy ra ab = 18.