Cho phương trình sin ( {2x - pi }/ {4

45/50

Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\). Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng\(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình trên.

\(\frac{{7\pi }}{2}\).

\(\pi \).

\(\frac{{3\pi }}{2}\).

\(\frac{\pi }{4}\).

Giải thích

Chọn B

Ta có: \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} = \pi - x - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét \(x = \pi + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(0 < x < \pi \Leftrightarrow 0 < \pi + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < 0\). Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị \(k\).

+ Xét \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(0 < x < \pi \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\). Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên có hai giá trị \(k\) là: \(k = 0;k = 1\).

\( \bullet \) Với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\).

\( \bullet \) Với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Do đó trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \frac{\pi }{6}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là: \(\frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi \).