Cho phương trình m x^2 − 2(m + 1)x + 3 = 0 với m là tham số. Khi đó:

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.    c) Đúng.     d) Sai.

a) Đúng.

Để phương trình luôn có nghiệm thì ta có: \[\Delta ' \ge 0\], suy ra:

\[{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m \ge 0\] hay \[{m^2} - m + 1 \ge 0\] nên \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0\] (luôn đúng với mọi \[m\])

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi \[m\].

b) Đúng.

Để phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0\] có nghiệm kép thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\end{array} \right.\].

Nhận thấy \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\] luôn đúng với mọi \[m\].

Do đó \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\] vô nghiệm.

Vậy không có giá trị \[m\] thỏa mãn để phương trình có nghiệm kép.

c) Đúng.

Xét với \[m = 0\] thì ta có \[ - 2x + 3 = 0\] suy ra \[x = \frac{3}{2}\].

Do đó với \[m = 0\] thì phương trình có đúng một nghiệm là \[x = \frac{3}{2}\].

d) Sai.

Để phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0\] có hai nghiệm phân biệt thì

\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3m > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - m + 1 > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\end{array} \right.\].

Nhận thấy \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\] luôn đúng với mọi \[m\].

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \[m \ne 0\].