Cho phương trình m - 1){x^4} + 2(m - 3){x^2} + m + 3 = 0 m là tham số

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đặt \(t = {x^2},(t \ge 0)\).

Để phương trình ẩn \(x\) vô nghiệm thì phương trình ẩn \(t\) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm.

Lời giải

Đặt \(t = {x^2},(t \ge 0)\). Khi đó ta có phương trình: \((m - 1){t^2} + 2(m - 3)t + m + 3 = 0\). (1)

Với \(m = 1\) thì \((1) \Leftrightarrow - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\) (Loại)

Với \(m \ne 1\) để phương trình ban đầu vô nghiệm thì:

TH1: (1) vô nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } < 0 \Leftrightarrow - 8m + 12 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\).

TH2: (1) có 2 nghiệm âm

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } \ge 0}\\{{t_1}.{t_2} > 0}\\{{t_1} + {t_2} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8m + 12 \ge 0}\\{\frac{{m + 3}}{{m - 1}} > 0}\\{ - \frac{{2(m - 3)}}{{m + 1}} < 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \frac{3}{2}}\\{m \in ( - \infty ; - 3) \cup (1; + \infty )}\\{m \in ( - \infty ;1) \cup (3; + \infty )}\end{array} \Leftrightarrow m} \right. \in ( - \infty ; - 3)\)

Kết hợp 2 trường hợp, ta được \(m \in ( - \infty ; - 3) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).