Cho phương trình {m - 1} x^ 4 + 2 ( m -3 ) x^2 + m + 3 =0

79/235

Cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^4} + 2\left( {m - 3} \right){x^2} + m + 3 = 0\) ( \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình vô nghiệm.

\(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

\(m \le - 3\).

\(m > \frac{3}{2}\).

\(m < - 3\).

Giải thích

Phương pháp giài

Đặt \(t = {x^2},\left( {t \ge 0} \right)\).
Để phương trình ẩn \(x\) vô nghiệm thì phương trình ẳn \(t\) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^2},\left( {t \ge 0} \right)\). Khi đó ta có phương trình: \(\left( {m - 1} \right){t^2} + 2\left( {m - 3} \right)t + m + 3 = 0\). (1)
Với \(m = 1\) thì ( 1 ) ⇔\( - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\) (Loại)
Với \(m \ne 1\) để phương trình ban đầu vô nghiệm thì:
TH1: (1) vô nghiệm .
TH2: (1) có 2 nghiệm âm
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} \ge 0}\\{{t_1} \cdot {t_2} > 0}\\{{t_1} + {t_2} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 8m + 12 \ge 0}\\{\frac{{m + 3}}{{m - 1}} > 0}\\{ - \frac{{2\left( {m - 3} \right)}}{{m + 1}} < 0}\end{array}} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \frac{3}{2}}\\{m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)}\\{m \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3} \right)\]

Kết hợp 2 trường hợp, ta được \(m \in ( - \infty ;{\mkern 1mu} - 3) \cup \left( {\frac{3}{2};{\mkern 1mu} + \infty } \right).\)

Đáp án cần chọn là: A