Cho phương trình lượng giác sin 2x - (căn 3)(1 + cos 2x) = 0

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. \(\sin 2x - \sqrt 3 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 3 \left( {2{{\cos }^2}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - 2\sqrt 3 {\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\cos x = 0\\\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sqrt 3 \cos x = \sin x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sqrt 3 \cdot \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

b) Sai. Phương trình có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

c) Sai. Cho k = -1 => \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2}\\x = - \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\). So sánh: \( - \frac{\pi }{2} > - \frac{{2\pi }}{3}\).

Do đó, nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \( - \frac{\pi }{2}\).

d) Đúng.

Xét họ nghiệm: \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).

\( - \pi < \frac{\pi }{2} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 3\pi }}{2} < k\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{2} < k < \frac{1}{2}\).

Do k ∈ ℤ nên k = -1; 0 => \(x = - \frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{2}\).

Xét họ nghiệm: \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \).

\( - \pi < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{4\pi }}{3} < k\pi < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}\).

Do k ∈ ℤ nên k = -1; 0 => \(x = - \frac{{2\pi }}{3};x = \frac{\pi }{3}\).

Vậy số nghiệm của phương trình trong khoảng (-π; π) là 4 nghiệm.