Cho phương trình lượng giác căn 2 sin x = 1. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Biến đổi phương trình: \(\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sin \frac{\pi }{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).

a) ĐÚNG: Trùng với họ nghiệm vừa giải.

b) ĐÚNG: Với họ nghiệm thứ nhất, nghiệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\). Với họ nghiệm thứ hai, nghiệm dương nhỏ nhất ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}\). So sánh hai giá trị thì \(\frac{\pi }{4}\) là nghiệm dương nhỏ nhất.

c) SAI: Xét các nghiệm trong đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\):

Họ nghiệm 1: \( - \pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi \Rightarrow - \frac{5}{8} \le k \le \frac{7}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{\pi }{4}\).

Họ nghiệm 2: \( - \pi \le \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \le 2\pi \Rightarrow - \frac{7}{8} \le k \le \frac{5}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_2} = \frac{{3\pi }}{4}\).

Vậy trong đoạn này phương trình chỉ có 2 nghiệm.

d) ĐÚNG: Tổng các nghiệm trong đoạn là \({x_1} + {x_2} = \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} = \pi \).

Kết luận:

a) ĐÚNG b) ĐÚNG c) SAI d) ĐÚNG