Cho phương trình lượng giác 3 − √ 3 tan ( 2 x − π/ 3 ) = 0 . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau. a) Khi − π /4 < x < 2 π /3 thì phương trình có 3 nghiệm.

a)

S

b)

S

c)

Đ

d)

Đ

 Để giải phương trình, ta có:

\(3 - \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)

\(\sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 3\)

\(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{3}{{\sqrt 3 }}\)

\(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)

Vì \(\tan \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \), suy ra:

\(2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \), với \(k \in \mathbb{Z}\)

\(2x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \)

\(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\), với \(k \in \mathbb{Z}\)

(Sai) Phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\)

(Vì): Nghiệm tổng quát của phương trình là \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\), nên khẳng định \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\) là sai.

(Đúng) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{6}\)

(Vì): Nghiệm tổng quát là \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\). Với \(k =  - 1\), ta có \(x = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{2} =  - \frac{\pi }{6}\). Với \(k \le  - 2\), các nghiệm sẽ nhỏ hơn \( - \frac{\pi }{6}\). Vậy nghiệm âm lớn nhất là \( - \frac{\pi }{6}\).

(Sai) Khi \( - \frac{\pi }{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\) thì phương trình có \(3\) nghiệm

(Vì): Trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\), phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{6}\) (ứng với \(k =  - 1\)) và \(x = \frac{\pi }{3}\) (ứng với \(k = 0\)). Vậy chỉ có \(2\) nghiệm, nên khẳng định trên là sai.

(Đúng) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) bằng \(\frac{\pi }{6}\)

(Vì): Các nghiệm trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) là \({x_1} =  - \frac{\pi }{6}\) và \({x_2} = \frac{\pi }{3}\). Tổng của chúng là \({x_1} + {x_2} =  - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6}\). Khẳng định này là đúng.