Cho phương trình

Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + 2 = 0\)(\(x\)là ẩn số)

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2 = 7\).

Ta có:

\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} + 2} \right)\)

      \(\; = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2\)

      \(\; = 2m - 1\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi : 

\(\Delta ' > 0\)

\(2m - 1 > 0\)

\(m > \frac{1}{2}\;\;\;\left( * \right)\)

Áp dụng hệ thức Viét, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2\;\;}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài, ta có:

\(x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2 = 7\):

\(\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 3{x_1}{x_2} = 7\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 7\)

\({\left( {2m + 2} \right)^2} - 3\left( {{m^2} + 2} \right) = 7\)

\({m^2} + 8m - 9 = 0\)

\(\left( {m - 1} \right)\left( {m + 9} \right) = 0\)

            \(m = 1\) hoặc \(m =  - 9\)

Kết hợp (*) và (**), ta được: \(m = 1\)

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.