Cho phương trình lo{g7}({x^2} + 2x + 2) + 1 > log({x^2} + 6x + 5 + m). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng (1;3) ?

Đáp án: 36

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

ĐK: \[{x^2} + 6x + 5 + m > 0\].

\[\begin{array}{l}lo{g_7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > lo{g_7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\\ \Leftrightarrow lo{g_7}7\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) > lo{g_7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\\ \Leftrightarrow 7\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) > {x^2} + 6x + 5 + m\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 14x + 14 - {x^2} - 6x - 5 - m > 0\\ \Leftrightarrow 6{x^2} + 8x + 9 - m > 0\end{array}\]

Bất phương trình đã cho có nghiệm chứa khoảng \[\left( {1;3} \right)\] ⇔ bất phương trình đã cho xác định trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\] và bất phương trình luôn đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]hoặc bất phương trình có nghiệm thỏa mãn \[\left[ \begin{array}{l}3 \le {x_1} < {x_2}\\{x_1} < {x_2} \le 1\end{array} \right.\]  với \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[6{x^2} + 8x + 9 - m = 0\].

⇔[Δ' <0{Δ'≥0[{x1+x2>6(x1-3)⁢(x2-3)≥0⁢{x1+x2<2(x1-1)⁢(x2-1)≥0⇔[42-6⁢(9-m)<0{42-6⁢(9-m)≥0[{-86>6(ktm){x1x2-3(x1+x2)+9≥0{-86<2{x1x2-(x1+x2)+1≥0⇔[16-54+6⁢m<0⁢{16-54+6⁢m≥0⁢9-m⁢6+86+1≥0⇔[m<193⁢{m≥193⁢9-m+8+6≥0⇔[m<193{m≥193⁢m≤23⇔[m<193⁢⁢193≤m≤23⇔m≤23

Hàm số đã cho xác định trên (1;3)⇔x2+6⁢x+5+m>0⁢∀x∈(1;3)

⇔[Δ' <0{Δ' ≥0[3≤x1<x2x1<x2≤1⇔[Δ' <0{Δ'≥0[{x1+x2>6(x1-3)⁢(x2-3)≥0{x1+x2<2(x1-1)⁢(x2-1)≥0⇔[32-5-m<0{32-5-m≥0[{-6>6(ktm)x1x2-3(x1+x2)+9≥0{-6<2x1x2-(x1+x2)+1≥0⇔[9-5-m<0{9-5-m≥0⁢5+m+6+1≥0⇔[m>4⁢{m≤4⁢m≥⁢ -12⇔m≥-12

Kết hợp lại ta có: \[ - 12 \le m \le 23\], mà \[m \in Z\]

Vậy có \[\left( {23 + 12} \right):1 + 1 = 36\] giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.