Cho phương trình log2(x^2 – 3x) = log4(x – 3)^2 + 2. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x > 0\\{(x - 3)^2} > 0\end{array} \right.\) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.\\x \ne 3\end{array} \right.\) ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.\).

b) Sai. Ta có: log₂(x² – 3x) = log₄(x – 3)² + 2

⇔ log₂(x² – 3x) = \({\log _{{2^2}}}{(x - 3)^2}\) + 2

⇔ log₂(x² – 3x) = \(\frac{2}{2}\)log₂|x – 3| + 2

⇔ log₂(x² – 3x) = log₂|x – 3| + 2.

Vì khi x < 0, |x – 3| = 3 – x ≠ x – 3 ⇒ không thể viết log₂|x – 3| = log₂(x – 3).

Vậy khẳng định b sai.

c) Sai. Ta có: log₂(x² – 3x) = log₂|x – 3| + 2 ⇔ log₂(x² – 3x) = log₂|x – 3| + log₂4

⇔ log₂(x² – 3x) = log₂(4∣x − 3∣) ⇔ x² – 3x = 4∣x − 3∣

* TH1: x > 3: x² – 3x = 4∣x − 3∣⇔ x² – 3x = 4(x – 3)

⇔ x² – 7x + 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 4) = 0 ⇔ x = 3 (loại) hoặc x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

* TH2: x < 0: x² – 3x = 4∣x − 3∣⇔ x² – 3x = 4(3 – x)

⇔ x² + x – 12 = 0 ⇔ (x + 4)(x − 3) = 0 ⇔ x = – 4 (thỏa mãn điều kiện) hoặc x = 3 (loại).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = –4; x = 4.

d) Đúng. Theo câu c), phương trình có hai nghiệm x = –4; x = 4

⇒ Tổng bình phương các nghiệm bằng: (–4)² + 4² = 16 + 16 = 32.