Cho phương trình log căn bậc hai của 2 (x − 1) + log cơ số 2 của (1/(x + 3)) = 1. Tìm số nghiệm và tổng các nghiệm của phương trình.

Đáp án:

Số nghiệm của phương trình là \(1.\)
Tổng các nghiệm của phương trình là \(5.\)

Phương pháp giải:

Tìm tập xác định và đưa về cơ số \(2.\)

Giải chi tiết:

Phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{1}{{x + 3}} = 1\) tương đương với
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,x \ne - 3}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + 3} \right) = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x + 3}}} \right) = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x + 3}} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{{x^2} - 4x - 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.} \right. \Leftrightarrow x = 5\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x = 5\]