Cho phương trình ( log 9 x )^2 + m log 3 x + 2 m + 3 = 0 có ẩn là x và m là tham số. Đặt t = log 3 x , xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Giải chi tiết

Viết lại phương trình

\({\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_9}x} \right)^2} + m{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x + 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}{\rm{log}}_3^2x + m{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x + 2m + 3 = 0\) (1).
+) Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
+) Phương trình trở thành \(\frac{1}{4}{t^2} + mt + 2m + 3 = 0\) (2).
Ta có \({\rm{\Delta }} = {b^2} - 4ac = {m^2} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 2m - 3\).
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khi chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \({t_1}\),\({t_2} \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{{\rm{\Delta }} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{4} \ne 0}\\{{m^2} - 2m - 3 > 0}\end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{m < - 1}\\{m > 3}\end{array}\)  hay \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Với \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\), ta có \(\{ \begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} + {t_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{m}{{\frac{1}{4}}} = - 4m}\\{{t_1} \cdot {t_2} = \frac{c}{a} = \frac{{2m + 3}}{{\frac{1}{4}}} = 8m + 12}\end{array}\).
Mà

\({x_1} \cdot {x_2} \ge 3 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x_1} \cdot {x_2}} \right) \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}3 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}{x_1} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}{x_2} \ge 1 \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} \ge 1 \Leftrightarrow - 4m \ge 1 \Leftrightarrow m \le - \frac{1}{4}\)
So với điều kiện \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\), ta được \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: S; Đ; S