Cho phương trình log_4}{(x + 1)^2} + 2 = log}_{căn 2 }} căn {4 - x}  +{log}}_8}{(4 + x)^3

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit.

Lời giải

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x + 1)}^2} > 0}\\{4 - x > 0}\\{4 + x > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne - 1}\\{ - 4 < x < 4}\end{array}} \right.} \right.\).

Ta có : \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}{(x + 1)^2} + 2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}{(4 + x)^3}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left| {x + 1} \right| + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}4 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4 - x} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4 + x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}4.\left| {x + 1} \right| = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {16 - {x^2}} \right) \Leftrightarrow 4\left| {x + 1} \right| = 16 - {x^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4\left( {x + 1} \right) = 16 - {x^2}}\\{4\left( {x + 1} \right) = - \left( {16 - {x^2}} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x - 12 = 0}\\{{x^2} - 4x - 20 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 6}\\{x = 2 + 2\sqrt 6 }\\{x = 2 - 2\sqrt 6 }\end{array}} \right.\).

Kết hợp với điều kiện ta có 2 nghiệm thỏa mãn \(x = 2;x = 2 - 2\sqrt 6 \).

Vậy tổng các nghiệm là \(4 - 2\sqrt 6 \).