Cho phương trình log 3 ( 3^x − 1 ) . log 27 ( 3^(x + 2) − 9 ) = m với m là tham số. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _{27}}\left( {{3^{x + 2}} - 9} \right) = m\) với \(m\) là tham số. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ge 0\).

ĐúngSai

Khi \(m = 1\) phương trình có một nghiệm là \(x = {\log _3}2\).

ĐúngSai

Đặt \({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right) = t\). Khi đó phương trình đã cho trở thành \({t^2} + 2t - 3m = 0\).

ĐúngSai

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m > - \frac{1}{3}\).

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai: Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 1 > 0\\{3^{x + 2}} - 9 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(x > 0\).

b) Sai: Khi \(m = 1\) phương trình có dạng:

\({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _{27}}\left( {{3^{x + 2}} - 9} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \)\({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _{{3^3}}}\left[ {{3^2}\left( {{3^x} - 1} \right)} \right] = 1\)

\( \Leftrightarrow \)\({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).\left[ {{{\log }_3}\left( {{3^x} - 1} \right) + 2} \right] = 3\)\( \Leftrightarrow \)\({\left[ {{{\log }_3}\left( {{3^x} - 1} \right)} \right]^2} + 2{\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right) - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}{\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right) = 1\\{\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right) = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}{3^x} - 1 = 3\\{3^x} - 1 = \frac{1}{{27}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}{3^x} = 4\\{3^x} = \frac{{28}}{{27}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = {\log _3}4\\x = {\log _3}\frac{{28}}{{27}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = 2{\log _3}2\\x = {\log _3}\frac{{28}}{{27}}\end{array} \right.\).

c) Đúng: \({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _{27}}\left( {{3^{x + 2}} - 9} \right) = m\)\( \Leftrightarrow \)\({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _{{3^3}}}\left[ {{3^2}\left( {{3^x} - 1} \right)} \right] = m\)

\( \Leftrightarrow \)\({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).\left[ {{{\log }_3}\left( {{3^x} - 1} \right) + 2} \right] = 3m\)\( \Leftrightarrow \)\({\left[ {{{\log }_3}\left( {{3^x} - 1} \right)} \right]^2} + 2{\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right) - 3m = 0\).

Khi đó đặt \({\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right) = t\) thì phương trình đã cho trở thành \({t^2} + 2t - 3m = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

d) Đúng: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow \)\(\Delta ' = 1 + 3m > 0\)\( \Leftrightarrow \)\(m > - \frac{1}{3}\).