Cho phương trình log 2 2 x − 7 log 2 x + 9 = 0 ( 1 )

14/22

Cho phương trình \(\log _2^2x - 7{\log _2}x + 9 = 0\)\(\left( 1 \right)\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm \(x = 2\).

ĐúngSai

Khi đặt \(t = {\log _2}x\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({t^2} - 7t + 9 = 0\).

ĐúngSai

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt.

ĐúngSai

Giả sử phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương là \({x_1}\) và \({x_2}\). Khi đó giá trị của \({\left( {\frac{{2023}}{{128}}{x_1}.{x_2}} \right)^{2024}}\) bằng \({2023^{2024}}\).

ĐúngSai

Giải thích

a) Thay \(x = 2\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\)ta thấy không thoả mãn nên câu a) là câu trả lời SAI.

b) Khi đặt \(t = {\log _2}x\), ta được phương trình \({t^2} - 7t + 9 = 0\) nên câu b) là câu trả lời ĐÚNG.

c) \(\log _2^2x - 7{\log _2}x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}\\{\log _2}x = \frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {2^{\frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}}}\\{x_2} = {2^{\frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}}}\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt nên câu c) là câu trả lời SAI.

d) Đặt \(t = {\log _2}x\), ta được phương trình \({t^2} - 7t + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}\\t = \frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}\\{\log _2}x = \frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {2^{\frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}}}\\{x_2} = {2^{\frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}}}\end{array} \right.\)

Ta có:

\({\left( {\frac{{2023}}{{128}}.{x_1}.{x_2}} \right)^{2024}} = {\left( {\frac{{2023}}{{128}}{{.2}^{\frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}}}{{.2}^{\frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}}}} \right)^{2024}} = {\left( {\frac{{2023}}{{128}}.128} \right)^{2024}} = {2023^{2024}}\)

Vậy d) là câu trả lời ĐÚNG.