Cho phương trình e^x = ln (x+a)+a , với a là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc khoảng (0;19) để phương trình có nghiệm dương.

Đáp án đúng là "17"

Phương pháp giải

- Biến đổi đưa phương trình về dạng hàm đặc trưng đưa phương trình về dạng \(a = g(x)\)

- Khảo sát hàm số \(g(x)\) để tìm điều kiện của \(a\).

Lời giải

Ta có:

\({e^x} = \ln (x + a) + a \Leftrightarrow {e^x} + x = \ln (x + a) + x + a \Leftrightarrow {e^x} + x = {e^{\ln (x + a)}} + \ln (x + a)\) (1)

Xét hàm số \(f(t) = {e^t} + t\) có \({f^\prime }(t) = {e^t} + 1 > 0,\forall t\). Suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó: \((1) \Leftrightarrow f(x) = f[\ln (x + a)] \Leftrightarrow x = \ln (x + a) \Leftrightarrow a = {e^x} - x\).

Đặt \(g(x) = {e^x} - x \Rightarrow {g^\prime }(x) = {e^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\):

​

Để phương trình có nghiệm dương thì \(a > 1\).

Do \(a \in (0;19)\) và \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a \in \{ 2;3; \ldots ;18\} \)

Vậy có 17 giá trị nguyên của \(a\) để phương trình có nghiệm dương.