Cho phương trình e^x = ln (x + a) + a, với a là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc khoảng (0; 19)

Phương pháp giải

Biến đoói đưa phương trình vě̀ dạng hàm đạ̌c trưng đưa phương trình vě dạng \(a = g\left( x \right)\)
Khảo sát hàm số \(g\left( x \right)\) để tìm điều kiện của \(a\).

Giải chi tiết

Ta có:
\({e^x} = {\rm{ln}}\left( {x + a} \right) + a \Leftrightarrow {e^x} + x = {\rm{ln}}\left( {x + a} \right) + x + a \Leftrightarrow {e^x} + x = {e^{{\rm{ln}}\left( {x + a} \right)}} + {\rm{ln}}\left( {x + a} \right)\# \) (1)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) có \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0,\forall t\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó: (1) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left[ {{\rm{ln}}\left( {x + a} \right)} \right] \Leftrightarrow x = {\rm{ln}}\left( {x + a} \right) \Leftrightarrow a = {e^x} - x\).
Đặt \(g\left( x \right) = {e^x} - x \Rightarrow g'\left( x \right) = {e^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) :

Để phương trình có nghiệm dương thì \(a > 1\).
Do \(a \in \left( {0;19} \right)\) và \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a \in \left\{ {2;3; \ldots ;18} \right\}\)
Vậy có 17 giá trị nguyên của \(a\) để phương trình có nghiệm dương.
Đáp án: 17.