Cho phương trình căn 2 + 1)^x} - m{( căn 2 - 1)^x} = 8 với m là tham số thực.

111/120

Cho phương trình ${(\sqrt 2 + 1)^x} - m{(\sqrt 2 - 1)^x} = 8$ với $m$ là tham số thực.

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${(\sqrt 2 + 1)^x} - m{(\sqrt 2 - 1)^x} = 8$ có hai nghiệm dương phân biệt. Số phần tử của $S$ bằng

10.

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Đưa về phương trình bậc 2 và cô lập m

Lời giải

${(\sqrt 2 + 1)^x} - m{(\sqrt 2 - 1)^x} = 8$

$ \Leftrightarrow {(\sqrt 2 + 1)^x} - m{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)^x} = 8$

$ \Leftrightarrow {(\sqrt 2 + 1)^{2x}} - 8{(\sqrt 2 + 1)^x} - m = 0$

Đặt $t = {(\sqrt 2 + 1)^x}$ ta được phương trình $ \Leftrightarrow {t^2} - 8t = m$ (1)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x$ dương phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

Ta có bảng biến thiên:

$Cho phương trình căn 2 + 1)^x} - m{( căn 2 - 1)^x} = 8 với m là tham số thực. (ảnh 1)$

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi $ - 16 < m < - 7$

Vậy có tất cả 8 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.