Cho phương trình bậc hai: x^2−mx−1=0 (m là tham số) Biết phương trình có một nghiệm là x1=√2+1, gọi x2 là nghiệm còn lại của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu t

Vì \(a \cdot c = 1 \cdot ( - 1) = - 1 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) trái dấu với mọi giá trị của \(m\).

Vì \({x_1} = \sqrt 2 + 1\) là nghiệm của phương trình (1) nên:

\({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} - m\left( {\sqrt 2 + 1} \right) - 1 = 0\)

Tìm được \(m = 2\).

Phương trình (1) trở thành \({x^2} - 2x - 1 = 0\)

Theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} = - 1}\end{array}} \right.\)

\(K = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\(K = \frac{{{2^2} - 2.( - 1)}}{{ - 1}} = \frac{{4 + 2}}{{ - 1}} = - 6\)

Vậy \(K = - 6\)