Cho phương trình bậc hai x^2 − 3x + m − 3 = 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2^2 + 4x2(x1 − 1) − x1 = m − 2.

Để phương trình \({x^2} - 3x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì \(\Delta  > 0\) tức là \({\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( {m - 3} \right) > 0\) hay \(m < \frac{{21}}{4}.\)

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.\)

Vì \({x_2}\) là một nghiệm của phương trình trên nên ta có:

\(x_2^2 - 3{x_2} + m - 3 = 0\) suy ra \(x_2^2 - 3{x_2} = 3 - m\)

Theo bài, \(x_2^2 + 4{x_2}\left( {{x_1} - 1} \right) - {x_1} = m - 2\) ta có

\(x_2^2 + 4{x_1}{x_2} - 4{x_2} - {x_1} = m - 2\)

\(\left( {x_2^2 - 3{x_2}} \right) + 4{x_1}{x_2} - \left( {{x_2} + {x_1}} \right) = m - 2\)

\(3 - m + 4\left( {m - 3} \right) - 3 = m - 2\)

\(2m = 10\)

\(m = 5{\rm{ (tm)}}\)

Vậy \(m = 5\).