Cho phương trình bậc hai: x^2 + 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0, với là m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1^3+ x2^3 = 108

Xét: ∆ = m² – (m² + 2m + 3) = –2m – 3 > 0

⇔ \(m < - \frac{3}{2}\left( * \right)\)

Theo hệ thức Vi-ét: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2m + 3\end{array} \right.\]

Lại có: x₁³+ x₂³ = 108

⇔ (x₁ + x₂)(x₁² - x₁ + x₂ + x₂²) = 108

⇔ (x₁+ x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) = 108

⇔ -8m³ + 6m(m² + 2m + 3) = 108

⇔ m³ – 6m² – 9m + 54 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = 3\\m = - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp (*) ta được: m = -3.