Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x^2 − ax − a^2 − 1 = 0 (1). Biết rằng phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1^2 − x2^2 + 2ax2 = 1. Tính P = x1/x2 + x2/x1.

Ta có: \[\Delta  = {\left( { - a} \right)^2} - 4.\left( { - {a^2} - 1} \right) = {a^2} + 4{a^2} + 4 = 5{a^2} + 4 > 0\] với mọi \[a\]

Áp dụng định lý Viete, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = a\\{x_1}.{x_2} =  - {a^2} - 1\end{array} \right.\]

Ta có: \[{x_1}^2 - {x_2}^2 + 2a{x_2} = 1\]

\[{x_1}^2 - {x_2}^2 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} = 1\]

\[{x_1}^2 - {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{x_2}^2 = 1\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 1\]

\[{a^2} = 1\]

\[a = 1\] hoặc \[a =  - 1\]

Suy ra: \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {a^2} = 1\] và \[{x_1}{x_2} =  - 1 - 1 =  - 2\]

Ta có: \[P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{1 - 2.\left( { - 2} \right)}}{{ - 2}} = \frac{{ - 5}}{2}\]

Vậy \[P = \frac{{ - 5}}{2}\].