Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x^2 + 3x − m^2 + 2 = 0. Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (x1 − x2)^2 − x1(x1 + 3) = 3. Tính giá trị của biểu thức P = căn bậc ha

Ta có \({\rm{\Delta }} = {3^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - {m^2} + 2} \right) = 9 + 4{m^2} - 8 = 4{m^2} + 1\).

Vì \({\rm{\Delta }} = 4{m^2} + 1 > 0\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 3}\\{{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 2}\end{array}} \right.\).

Ta có \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - {x_1}\left( {{x_1} + 3} \right) = 3\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - x_1^2 - 3{x_1} = 3\).

Vì \({x_1}\) là nghiệm nên \(x_1^2 + 3{x_1} - {m^2} + 2 = 0\) hay \(x_1^2 + 3{x_1} = {m^2} - 2\). Thay vào ta có:

\({\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + 2} \right) - \left( {{m^2} - 2} \right) = 3\)

\(9 + 4{m^2} - 8 - {m^2} + 2 = 3\)

\(3{m^2} + 3 = 3\)

\(3{m^2} = 0\)

\(m = 0\).

Với \(m = 0\), thay vào biểu thức \(P\), ta có: \(P = \sqrt {2025 + {0^2}}  = \sqrt {2025}  = 45.\)

Vậy \(P = 45.\)