Cho phương trình bậc hai 2x^2 − 4x + a = 0 (a là tham số). Biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 trong đó có một nghiệm (2 + căn bậc hai của 10)/2. Tính giá trị biểu thức tổng nghịch đảo hai

Xét \(\Delta  = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.2.a = 16 - 8a\)

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\);\({x_2}\) thì \(\Delta  > 0\)

Suy ra \(16 - 8a > 0\) suy ra \(a < 2\)

Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{a}{2}\end{array} \right.\)(*)

Vì phương trình có một nghiệm \(\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\)

Thay \(x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\) vào phương trình ta được: \(2{\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right)^2} - 4\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right) + a = 0\)

Suy ra \(a =  - 3\) (thoả mãn)

Khi đó, \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}\)

Biểu thức tổng nghịch đảo hai nghiệm là: \(A = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}\) (1)

Thay (*) vào (1) ta được \(A = \frac{2}{{\frac{{ - 3}}{2}}} = \frac{{ - 4}}{3}\).