Cho phương trình ẩn x : x^2 − 3 x + a = 0 ( 1 ) (với a là tham số). (a) Giải phương trình khi a = 2 .

a) Thay \(a = 2\) vào phương trình (1), ta được: \({x^2} - 3x + 2 = 0\).

Suy ra \(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\).

Do đó \(x - 2 = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\).

Vì vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 1\).

Vậy khi \(a = 2\) thì phương trình (1) có hai nghiệm là \(x = 2\) hoặc \(x = 1\).

b) Ta có: \({x^2} - 3x + a = 0\) (1)

Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.a = 9 - 4a\).

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\).

Suy ra \(9 - 4a > 0\).

Do đó \(4a < 9\).

Vì vậy \(a < \frac{9}{4}\).

Áp dụng định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{a}{1} = a\end{array} \right.\)

Theo đề, ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = - x_1^2x_2^2 + 8\).

Suy ra .

\(x_1^2 + x_2^2 + x_1^2x_2^2 - 8 = 0\)Vì vậy \(9 - 2a + {a^2} - 8 = 0\).

Suy ra \({a^2} - 2a + 1 = 0\).

Khi đó \({\left( {a - 1} \right)^2} = 0\).

Vì vậy \(a - 1 = 0\).

Tức là, \(a = 1\).

So với điều kiện \(a < \frac{9}{4}\), ta nhận \(a = 1\).

Vậy \(a = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.