Cho phương trình: 8^x+3x4^x+(3x^2+1)2^x=(m^3-1)x^3+(m-1)x có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10) .

49/50

Cho phương trình: 8x+3x.4x+3x2+1.2x=m3−1x3+m−1x có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc 0;10.

100

101

102

103

Giải thích

Đáp án B.

Phương trình tương đương với: 8x+3x.4x+3x2.2x+2x=m3x3−x3+mx−x

8x+3x.4x+3x2.2x++x3+2x+x=m3x3+mx

2x3+3.2x2.x+3.2x.x2+x3+2x+x=m3x3+mx⇔2x+x3+2x+x=m3x3+mx

Xét hàm số ft=t3+t,f't=3t2+1>0,∀t∈ℝ

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R; nhận thấy f2x+x=fmx⇒2x+x=mx là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ta có: 2x+x=mx⇔m=2xx+1 (vì x=0 không là nghiệm của phương trình).

Bài toán trở thành tìm m để phương trình m=2xx−1 có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10).

Xét hàm số fx=2xx+1,∀x≠0⇒f'x=2xxln2−1x2=0⇔x=1ln2∈0;10

Ta có bảng biến thiên:

Cho phương trình: 8^x+3x4^x+(3x^2+1)2^x=(m^3-1)x^3+(m-1)x có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10) . (ảnh 1)

Nhìn vào bảng biến thiên, suy ra: eln2+1<m<5175→m∈ℤm∈3;4;...;102;103

Vậy có 101 giá trị nguyên m thỏa mãn đề bài.