Cho phương trình ( 8 s i n^3 x − m )^3 = 162 s i n x + 27 m . Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( 0 ; π 3 ) là

82/100

Cho phương trình ${\left( {8{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x - m} \right)^3} = 162{\rm{sin}}x + 27m$. Tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)$ là

0 .

5 .

-3 .

-10 .

Giải thích

Đặt $u = 2{\rm{sin}}x$. Vì $x \in \left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)$ nên $2{\rm{sin}}x \in \left( {0;\sqrt 3 } \right)$ hay $u \in \left( {0;\sqrt 3 } \right)$.

Phương trình đã cho trở thành: ${\left( {{u^3} - m} \right)^3} = 81u + 27m$

$ \Leftrightarrow {\left( {{u^3} - m} \right)^3} - 27\left( {{u^3} - m} \right) = {(3u)^3} + 27.3u$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^3} + 27t$ có $f'\left( t \right) = 3{t^2} + 27 > 0,\forall t \in \mathbb{R}$.

$ \Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

$ \Rightarrow {u^3} - m = 3u \Leftrightarrow {u^3} - 3u = m$.

Xét hàm số $g\left( u \right) = {u^3} - 3u$ trên $\left( {0;\sqrt 3 } \right)$.

Ta có: $g'\left( u \right) = 3{u^2} - 3;g'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 1 \in \left( {0;\sqrt 3 } \right)}\\{u = - 1 \notin \left( {0;\sqrt 3 } \right)}\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên:

$Cho phương trình ${\left( {8{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x - m} \right)^3} = 162{\rm{sin}}x + 27m$. Tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)$ là A. 0 . B. 5 . C. -3 . D. -10 . (ảnh 1)$

Vậy $ - 2 \le m < 0$. Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}$ hay tổng các giá trị nguyên của nguyên của tham số $m$ là $ - 3$.