Cho phương trình 4x^2 + ( m^2 + 2m -15)x + (m+1)^2 -20=0 với m là tham số.

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1,x2⇔Δ≥0

⇔m2+2m−152−16m+12−20≥0⇔m+12−162−16m+12+320≥0⇔m+14−32.m+12+256−16m+12+320≥0⇔m+14−48.m+12+576≥0⇔m+14−2.24.m+12+242≥0m+12−24≥0∀m

Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: x1+x2=−m2+2m−154=−m+12−164=−m+124+4x1x2=m+12−204=m+124−5⇒x1+x2+x1x2=−1(*)

Theo đề bài ta có: x12+x2+2019=0⇔x2=−x12−2019

Thay vào (*) ta có:

⇔x13+x12+2018x1+2018=0⇔x12x1+1+2018x1+1=0⇔x1+1x12+2018=0⇔x1+1=0(x12+2018>0)⇔x1=−1⇒x2=−1−2019=−2020

 

Mặt khác x1x2=m+124−5

⇔2020=m+124−5⇔2025.4=m+12⇔m+12=8100⇔m+1=90m+1=−90⇔m=89m=−91

Vậy m∈89;−91 thỏa mãn điều kiện bài toán