Cho phương trình (3/2)^x − 5 = (2/3)^x + 3. Biết phương trình có 1 nghiệm x = a. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}\) = \({\left( {\frac{1}{{\frac{3}{2}}}} \right)^{x + 3}}\)= \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - (x + 3)}}\) = \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}}\).

 ⇒\({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}}\)= \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}\)⇔\({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}}\) = \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}}\)

⇔ x – 5 = – x – 3 ⇔ x + x = –3 + 5 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 > 0.

b) Đúng. Ba số a; 2; 3 = 1; 2; 3 tạo thành cấp số cộng với công sai d = 1.

c) Sai.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 2x + 5)\) = 1² + 2 ⋅ 1 + 5 = 8.

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 2x + 5)\) = 8.

d) Đúng. Ta có: x² + x + 1 = \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}\) + \(\frac{3}{4}\) ≥ \(\frac{3}{4}\) > 0

Do đó x² + x + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

⇒ Phương trình x² + x + 1 = 0 vô nghiệm.