Cho phương trình 2x^4 – 5x^2 + x + 1 = 0. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

Hàm số f(x) =2x⁴ – 5x² + x + 1 là hàm đa thức có tập xác định là ℝ nên liên tục trên ℝ.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = 11\\f\left( { - 1} \right) = - 3\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right) \cdot f\left( { - 1} \right) < 0\) nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-2; -1).

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( { - 1} \right) = - 3\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0\)  nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 0).

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1).

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = - 1\\f\left( 2 \right) = 15\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right) \cdot f\left( 2 \right) < 0\)nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).

Vậy phương trình f(x) = 0 đã cho có nghiệm thuộc khoảng (-2; -1); (-1; 0); (0; 1) và (1; 2).

a) Sai. Vì phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0) và (0; 1) nên phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 1).

b) Sai. Vì phương trình có nghiệm trong khoảng (-2; -1) và (-1; 0) nên phương trình có nghiệm trong khoảng (-2; 0).

c) Sai. Vì phương trình có nghiệm trong khoảng (-2; -1); (-1; 0) và (0; 1) nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; 1).

d) Đúng. Vì phương trình có một nghiệm trong khoảng (0; 1) và một nghiệm trong khoảng (1; 2) nên phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2).