Cho phương trình 2x^3 – 8x – 1 = 0 (1). Đặt hàm số y = f(x) = 2x^3 – 8x – 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Hàm số y = f(x) = 2x³ – 8x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ.

b) Sai. Hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ nên hàm số liên tục trên [-5; -1].

Lại có f(-5) =-211 và f(-1) = 5. Khi đó f(-5).f(-1) < 0. Vậy phương trình (1) đã cho có nghiệm trong khoảng (-5; -1).

c) Đúng. Hàm số f(x) = 2x³ – 8x – 1 liên tục trên ℝ.

Ta có: f(-5) =-211 < 0;  f(-1) = 5 > 0 ; f(2) =-1 < 0 ; f(3) = 29 > 0. Nên phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm trên (-5; -1), (-1; 2) và (2; 3).

Mà phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên ℝ

d) Sai. \(f\left( {\sin x} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 8\sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\left( {{{\sin }^2}x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\\sin x = 2 \notin \left[ { - 1;1} \right]\\\sin x = - 2 \in \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi } \right\}\).

Vậy phương trình \(f\left( {\sin x} \right) + 1 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).