Cho phương trình 2x^2−7x−1=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2(x1>x2). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt\(\;{x_1},{x_2}\) nên heo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2}\) và \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{2}.\)

Ta có \(N = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}\,} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{49}}{4} + \frac{4}{2} = \frac{{57}}{4}.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 7x - 1 = 0\) nên \(2x_1^2 - 7{x_1} - 1 = 0 \Rightarrow {x_1}^2 = \frac{{7{x_1} + 1}}{2}\)\( \Rightarrow {\left( {{x_1} + 4} \right)^2} = {x_1}^2 + 8{x_1} + 16\)\( = \frac{{7{x_1} + 1}}{2} + 8{x_1} + 16\)\( = \frac{{23{x_1} + 33}}{2}\)

Do đó \(M = \sqrt {\frac{{23{x_1} + 33}}{2}} + {x_2} + 21 = \sqrt {{{\left( {{x_1} + 4} \right)}^2}} + {x_2} + 21 = \left| {{x_1} + 4} \right| + {x_2} + 21\)

\( = {x_1} + {x_2} + 25 = \frac{7}{2} + 25 = \frac{{57}}{2}\) (Vì \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow {x_1}\) và \({x_2}\) trái dấu.

Kết hợp với giả thiết \({x_1} > {x_2}\) ta có \({x_1} > 0 > {x_2}\)\( \Rightarrow {x_1} + 4 > 0 \Rightarrow \left| {{x_1} + 4} \right| = {x_1} + 4\))

Vậy \(P = M:N = \frac{{57}}{2}:\frac{{57}}{4} = 2\)