Cho phương trình 2x^2 – 9x – 5 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

Xét phương trình 2x² – 9x – 5 = 0.

Phương trìnhtrên có a = 2, b = –9, c = –5 và ∆ = (–9)² – 4.2.( –5) = 81 + 40 = 121 > 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 9}}{2} = \frac{9}{2};\,\,\,P = {x_1}{x_2} = - \frac{5}{2}.\)

a) \[A = x_1^2x_2^2 - 2x_1^2 - 2x_2^2\]

\[ = {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\]

\[ = {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right)\]

\[ = {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\]

Thay \[{x_1} + {x_2} = \frac{9}{2}\] và \[{x_1}{x_2} = - \frac{5}{2}\] vào biểu thức trên, ta được:

\[A = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} - 2 \cdot \left[ {{{\left( {\frac{9}{2}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - \frac{5}{2}} \right)} \right]\]

\[ = \frac{{25}}{4} - 2 \cdot \left( {\frac{{81}}{4} + 5} \right)\]

\[ = \frac{{25}}{4} - \frac{{81}}{2} - 10\]

\[ = \frac{{25}}{4} - \frac{{162}}{4} - \frac{{40}}{4} = - \frac{{177}}{4}.\]

b) \(B = \frac{{5{x_2}}}{{{x_1} + 2}} + \frac{{5{x_1}}}{{{x_2} + 2}}.\)

\[ = \frac{{5{x_2}\left( {{x_2} + 2} \right) + 5{x_1}\left( {{x_1} + 2} \right)}}{{\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{5x_2^2 + 10{x_2} + 5x_1^2 + 10{x_1}}}{{{x_1}{x_2} + 2{x_1} + 2{x_2} + 4}}\]

\[ = \frac{{5\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 10\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}\]

\[ = \frac{{5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 10\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}\]

Thay \[{x_1} + {x_2} = \frac{9}{2}\] và \[{x_1}{x_2} = - \frac{5}{2}\] vào biểu thức trên, ta được:

\[B = \frac{{5 \cdot \left[ {{{\left( {\frac{9}{2}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - \frac{5}{2}} \right)} \right] + 10 \cdot \frac{9}{2}}}{{ - \frac{5}{2} + 2 \cdot \frac{9}{2} + 4}}\]

 \[ = \frac{{5 \cdot \left( {\frac{{81}}{4} + 5} \right) + 45}}{{ - \frac{5}{2} + 9 + 4}} = \frac{{\frac{{405}}{4} + 25 + 45}}{{ - \frac{5}{2} + 13}}\]

 \[ = \frac{{\frac{{405 + 100 + 180}}{4}}}{{\frac{{ - 5 + 26}}{2}}} = \frac{{685}}{4} \cdot \frac{2}{{21}}\]\( = \frac{{685}}{{42}}.\)