Cho phương trình 2x^2 + 2(m + 1)x – 3 = 0. a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu t

Xét phương trình: 2x²+2(m+1)x–3=0.

a) Phương trình đã cho có ∆’ = (m + 1)² ‒ 2.(‒3) = (m + 1)² + 6.

Với mọi m, ta có (m + 1)² ≥ 0 nên (m + 1)² + 6 ≥ 6 hay ∆’ > 0.

Vậy phương trình đó luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có:

\[{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{2} = - m - 1\] và \[{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}.\]

Ta có: \[A = x_1^2 + x_2^2 + 3{x_1}{x_2}\]

 = (x₁ + x₂)² + x₁x₂

Thay x₁ + x₂ = – m – 1 và\[{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}\] vào biểu thức trên ta có:

\(A = {\left( { - m - 1} \right)^2} + \frac{{ - 3}}{2} = {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2}.\)

Với mọi m ta luôn có: (m + 1)² ≥ 0 nên \({\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2} \ge - \frac{3}{2}.\)

Khi đó, A có giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{3}{2}\) khi m + 1 = 0 hay m = –1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là \( - \frac{3}{2}\) tại m = –1.