Cho phương trình 2x^ 2 − 7 x + 4 = 0 .

a)

Cho phương trình \(2{x^2} - 7x + 4 = 0\). Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Phương trình bậc hai \(2{x^2} - 7x + 4 = 0\) có \(a = 2;\,\,b = - 7;\,\,c = 4.\)

Ta có \({\rm{\Delta }} = {b^2} - 4ac = {( - 7)^2} - 4.2.4 = 17 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)

b)

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}\left( {3{x_2} + {x_1}} \right) + x_2^2\).

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) nên áp dụng hệ thức Viète ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{7}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{4}{2} = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó \(A = {x_1}\left( {3{x_2} + {x_1}} \right) + x_2^2\)\( = 3{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2\)

\( = {x_1}{x_2} + \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2}} \right.\)\[ = {x_1}{x_2} + {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\]\[ = 2 + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{{57}}{4}\]

Vậy \(A = \frac{{57}}{4}\).