Cho phương trình (2m^2-5m+2)(x-1)^2019(x^2020-2)+7x^2+! (với m là tham số)

Xét hàm số fx=2m2−5m+2x−12019x2020−2+7x2+1.

Hàm số có tập xác định D=ℝ nên liên tục trên ℝ.

Trường hợp 1: Nếu  2m2−5m+2=0⇔m=2m=12 

Khi đó ta được fx=7x2+1. Dễ thấy phương trình fx=0 vô nghiệm.

Trường hợp 2:  Nếu 2m2−5m+2≠0⇔m≠2m≠12.

Khi đó đa thức fx có bậc 4039 (bậc lẻ)

Ta có f0=1>0

* Nếu 2m2−5m+2>0⇔m>2m<12

Khi đó limx→−∞fx=−∞ nên tồn tại số thực a<0 sao cho fa<0

Từ đó ta được fa.f0<0 nên phương trình có nghiệm trong khoảng a;​​  0 do đó phương trình có nghiệm.

* Nếu . 2m2−5m+2<0⇔12<m<2

Khi đó  limx→+∞fx=−∞  nên tồn tại số thực b>0 sao cho fb<0.

Từ đó ta được f0.fb<0 nên phương trình có nghiệm trong khoảng 0;  b do đó phương trình có nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm khi m∈−∞;  12∪12;  2∪2;  +∞