Cho phương trình 2m .2^(x^2 - 5x + 5) + 2^(1 - x^2)- 2.2^(6 - 5x) = m. Tìm m để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Ta có \(2m \cdot {2^{{x^2} - 5x + 5}} + {2^{1 - {x^2}}} - 2 \cdot {2^{6 - 5x}} = m\)\( \Leftrightarrow m \cdot {2^{{x^2} - 5x + 6}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{7 - 5x}} + m\)

\( \Leftrightarrow m \cdot {2^{{x^2} - 5x + 6}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{x^2} - 5x + 6 + 1 - {x^2}}} + m \Leftrightarrow m \cdot {2^{{x^2} - 5x + 6}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{x^2} - 5x + 6}} \cdot {2^{1 - {x^2}}} + m\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {2^{{x^2} - 5x + 6}}\\v = {2^{1 - {x^2}}}\end{array} \right.;u,v > 0\). Khi đó phương trình tương đương:

\(mu + v = uv + m \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {m - v} \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}u = 1\\v = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{{x^2} - 5x + 6}} = 1\\{2^{1 - {x^2}}} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\\{2^{1 - {x^2}}} = m\left( * \right)\end{array} \right.\).

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì \(\left( * \right)\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3.

Lại có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\1 - {x^2} = {\log _2}m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{x^2} = 1 - {\log _2}m\end{array} \right.\).

Khi đó điều kiện là:

\(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\1 - {\log _2}m > 0\\1 - {\log _2}m \ne 4\\1 - {\log _2}m \ne 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m < 2\\m \ne \frac{1}{8}\\m \ne \frac{1}{{256}}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {0;2} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{8};\frac{1}{{256}}} \right\}\). Chọn B.