Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2mx + 1 = 0 (m là tham số) (1). Khi đó:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x khi 2m – 1 ≠ 0 nên \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\).

Vậy với \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\) thì phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x.

b) Sai.

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–m)² – 1.(2m – 1) = m² – 2m + 1 = (m – 1)².

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi (m – 1)² > 0, suy ra (m – 1)² ≠ 0 nên m ≠ 1.

Theo a), phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x khi \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\).

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ 1 và \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\).

c) Sai.

Theo b) ta có phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ khi m ≠ 1 và \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\) (1).

Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2{\rm{m}}} \right)}}{{2{\rm{m}} - 1}} = \frac{{2{\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{1}{{2{\rm{m}} - 1}}.\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì \({{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{1}{{2{\rm{m}} - 1}} > 0\), suy ra 2m – 1 > 0 nên \({\rm{m}} > \frac{1}{2}.\)

Kết hợp với (1): Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1.

d) Đúng.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương thì x₁ + x₂ > 0, x₁x₂ > 0 và \(\Delta\)’ > 0.

Với x₁x₂ > 0 và \(\Delta\)’ > 0 thì \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1.

Với x₁ + x₂ > 0 thì \(\frac{{2{\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}} > 0\).

TH1: 2m > 0 và 2m – 1 > 0, suy ra m > 0 và \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) suy ra \({\rm{m}} > \frac{1}{2}.\)

Kết hợp với \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1 ta có: \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1.

TH2: 2m < 0 và 2m – 1 < 0, suy ra m < 0 và \({\rm{m}} < \frac{1}{2},\) suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{2}.\)

Kết hợp với \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1 thì không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Vậy với \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương.