Cho phương trình ( 2 sin x − 1 ) ( 3 cos 2 x + 2 sin x − m ) = 3 − 4 cos 2 x . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn [ − π/ 4 ; π/ 4 ]

Ta có: \(\left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = 3 - 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {2{\rm{sin}}x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x - m - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = \frac{1}{2}}\\{{\rm{cos}}2x = \frac{{m + 1}}{2}}\end{array}} \right.\)

Xét \({\rm{sin}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) nên phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6}\).

Do đó để thoả mãn yêu cầu bài toán thì phương trình \({\rm{cos}}2x = \frac{{m + 1}}{2}\) phải có đúng hai nghiệm phân biệt khác \(\frac{\pi }{6}\) trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).

Xét hàm số \(y = {\rm{cos}}2x\) có bảng biến thiên trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) như sau:

Từ BBT suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le \frac{{m + 1}}{2} < 1}\\{\frac{{m + 1}}{2} \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \le m < 1}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.\).

Vậy \(m \in \left[ { - 1;1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).