Cho phương trình ( 2 sin x − 1 ) ( 3 cos 2 x + 2 sin x − m ) = 3 − 4 cos 2 x . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn [ − π /4 ; π/ 4 ]

33/33

Cho phương trình $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Ta có $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x$

$ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 4{\sin ^2}x - 1$

\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) - \left( {2\sin x + 1} \right)} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left[ {3\cos 2x - \left( {m + 1} \right)} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\3\cos 2x - \left( {m + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.\]

Xét $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$. Khi đó trong khoảng $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ có 1 nghiệm $x = \frac{\pi }{6}$. Như vậy, để phương trình có 3 nghiệm nằm trong khoảng $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ thì phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm khác $\frac{\pi }{6}$ trong khoảng $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$.

Xét hàm số $y = \cos 2x$ trong khoảng $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ có bảng biến thiên như sau:

$Cho phương trình $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x$. Tìm tất cả các giá tr (ảnh 1)$

Như vậy, để phương trình \[\cos 2x = \frac{{m + 1}}{3}\] có 2 nghiệm phân biệt khác $\frac{\pi }{6}$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l}0 \le \frac{{m + 1}}{3} < 1\\\frac{{m + 1}}{3} \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le m < 2\\m \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $m \in \left[ { - 1;2} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$ thoả mãn đề bài.