Cho phương trình 2 log 2 ( 2x − 2 ) + log 2 ( x − 3 )^2 = 2 . Tính tổng S các nghiệm thực của phương trình trên.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 3\end{array} \right.\).

\[2{\log _2}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2\]\[ \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {2x - 2} \right)^2} + {\log _2}{\left( {x - 3} \right)^2} = 2\]

\[ \Leftrightarrow {\log _2}{\left[ {\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \right]^2} = 2\]\[ \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} - 8x + 6} \right)^2} = {2^2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} - 8x + 6 = 2\\2{x^2} - 8x + 6 =  - 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\\{x^2} - 4x + 4 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\].

Ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\x = 2 - \sqrt 2 \,\,(l)\end{array} \right.\).\(\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \,x = 2\).

Tập nghiệm của phương trình là: \[\left\{ {2;\,2 + \sqrt 2 } \right\}\].

Vậy tổng các nghiệm của là: \[S = 2 + 2 + \sqrt 2  = 4 + \sqrt 2 \].