Cho phương trình 2 a x − ( 3 b + 1 ) y = a − 1. a) Với giá trị nào của a , b thì phương trình trên là phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất hai ẩn thì \(2a \ne 0\) hoặc \( - \left( {3b + 1} \right) \ne 0,\) tức là \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne  - \frac{1}{3}.\)

b) Để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 7;6} \right)\) thì tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay \(x =  - 7;\,\,y = 6\) vào phương trình \(2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,\) ta được:

\[2a \cdot \left( { - 7} \right) - \left( {3b + 1} \right) \cdot 6 = a - 1\]

\( - 14a - 18b - 6 = a - 1\)

\( - 15a - 18b = 5\)   (1)

Để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {4; - 3} \right)\) thì tọa độ điểm \(N\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay \(x = 4;y =  - 3\) vào phương trình \(2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,\) ta được:

\[2a \cdot 4 - \left( {3b + 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = a - 1\]

\(8a + 9b + 3 = a - 1\)

\(7a + 9b =  - 4\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 15a - 18b = 5}\\{7a + 9b =  - 4}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2 ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 15a - 18b = 5}\\{14a + 18b =  - 8}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\(\left( { - 15a - 18b} \right) + \left( {14a + 18b} \right) = 5 + \left( { - 8} \right)\)

\( - a =  - 3\)

  \(a = 3\).

Thay \(a = 3\) vào phương trình \(7a + 9b =  - 4,\) ta có:

\(7 \cdot 3 + 9b =  - 4\) hay \(9b =  - 25\) nên \(b =  - \frac{{25}}{9}.\)

Vậy \(a = 3\) và \(b =  - \frac{{25}}{9}.\)