Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\)

Diện tích thiết diện là: \(S(x) = 2x.\sqrt {{x^2} + 1} \).

Thể tích phần vật thể đã cho là: \(V = \int\limits_1^{\sqrt 7 } {2x.\sqrt {{x^2} + 1} {\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow t{\rm{d}}t = x{\rm{d}}x.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;{\rm{ }}\,x = \sqrt 7  \Rightarrow t = 2\sqrt 2 \).

\[ \Rightarrow V = \int\limits_{\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {{t^2}{\rm{d}}t}  = \left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_{\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } = \frac{{14\sqrt 2 }}{3}.\]

Vậy \(a = 14;\,b = 2;\,c = 3\) nên \(a.b.c = 84\).