Cho phân số P = (n^2 + 4) /( n + 5) . Có bao nhiêu số tự nhiên n thuộc đoạn [ 1 ; 2023 ] sao cho phân số P là chưa tối giản?

Giải thích

Gọi \(d\) là ước chung của \({n^2} + 4\) và \(n + 5\) suy ra \(\left[ {{{(n + 5)}^2} - \left( {{n^2} + 4} \right)} \right] \vdots d\)

\( \Rightarrow 10n + 21 = \left[ {10\left( {n + 5} \right) - 29} \right] \vdots d\) mà \(10\left( {n + 5} \right) \vdots d\) nên \(29 \vdots d\).

Do \(A\) chưa tối giản nên \(d > 1\), vậy \(d = 29\).

Do đó \(n + 5 = 29k\left( {k \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\) mà \(n \in \left[ {1;2023} \right]\)

\( \Leftrightarrow 6 \le n + 5 \le 2028 \Leftrightarrow 6 \le 29k \le 2028 \Leftrightarrow \frac{6}{{29}} \le k \le \frac{{2028}}{{29}} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2; \ldots ;69} \right\}\).

Vậy có 69 số tự nhiên \(n\) thỏa mãn đề bài.

 Chọn D